Jody Nagel
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Voice-Leading Possibilities
Appendix 3

 
 

Appendix 3
N Instruments Playing Two N-note Chords with K Common- Tones
(D held common-tones, and U = K-D unheld common-tones):
Possible Pitch-Class Assignments (Permutations)



Example 0:
Possible combinations when N=0. (There are N! = 0! = 1 permutation per combination.)
There is precisely one way to have nothing at all, and that, of course, is to have nothing at all !
 
-   -
N=0   K=0   D=0
Y=1 combination
X=1 permutation

-   -


Example 1:
Possible combinations when N=1. (There are N! = 1! = 1 permutation per combination.)
 
A   B
N=1   K=0   D=0
Y=1 combination
X=1 permutation

A  B

A   A
N=1   K=1   D=0
Y=0 combinations
X=0 permutations
A   A
N=1   K=1   D=1
Y=1 combination
X=1 permutation
-
A   A


Example 2:
Possible combinations when N=2. (There are N! = 2! = 2 permutations per combination.)
 
A B     C D
N=2   K=0   D=0
Y=2 combinations
X=4 permutations

A C     B D
A D     B C

A B     A C
N=2   K=1   D=0
Y=1 combination
X=2 permutations
A B     A C
N=2   K=1   D=1
Y=1 combination
X=2 permutations
A C   B A
A A   B C

A B     A B
N=2   K=2   D=0
Y=1 combination
X=2 permutations
A B     A B
N=2   K=2   D=1
Y=0 combinations
X=0 permutations
A B     A B
N=2   K=2   D=2
Y=1 combination
X=2 permutations
A B   B A
-
A B   A B


Example 3:
Possible combinations when N=3. (There are N! = 3! = 6 permutations per combination.)
 
A B C     D E F
N=3   K=0   D=0
Y=6 combinations
X=36 permutations

A D      B E      C F
A D      B F      C E
A E      B D      C F
A E      B F      C D
A F      B D      C E
A F      B E      C D

A B C     A D E
N=3   K=1   D=0
Y=4 combinations
X=24 permutations
A B C     A D E
N=3   K=1   D=1
Y=2 combinations
X=12 permutations
A D      B A      C E
A D      B E      C A
A E      B A      C D
A E      B D      C A
A A      B D      C E
A A      B E      C D

A B C     A B D
N=3   K=2   D=0
Y=3 combinations
X=18 permutations
A B C     A B D
N=3   K=2   D=1
Y=2 combinations
X=12 permutations
A B C     A B D
N=3   K=2   D=2
Y=1 combinations
X=6 permutations
A B      B A      C D
A B      B E      B D
A D      B A      C B
A A      B D      C B
A D      B B      C A
A A      B B      C D

A B C     A B C
N=3   K=3   D=0
Y=2 combinations
X=12 permutations
A B C     A B C
N=3   K=3   D=1
Y=3 combinations
X=18 permutations
A B C     A B C
N=3   K=3   D=2
Y=0 combinations
X=0 permutations
A B C     A B C
N=3   K=3   D=3
Y=1 combinations
X=6 permutations
A B      B C      C A
A C      B A      C B
A A      B C      C B
A C      B B      C A
A B      B A      C C
-
A A      B B      C C


Example 4:
Possible combinations when N=4. (There are N! = 4! = 24 permutations per combination.)
 
A B C D     E F G H
N=4   K=0   D=0
Y=24 combinations
X=576 permutations

A E      B F      C G      D H
A E      B F      C H      D G
A E      B G      C F      D H
A E      B G      C H      D F
A E      B H      C F      D G
A E      B H      C G      D F
A F      B E      C G      D H
A F      B E      C H      D G
A F      B G      C E      D H
A F      B G      C H      D E
A F      B H      C E      D G
A F      B H      C E      D G
A G      B E      C F      D H
A G      B E      C H      D F
A G      B F      C E      D H
A G      B F      C H      D E
A G      B H      C E      D F
A G      B H      C F      D E
A H      B E      C F      D G
A H      B E      C G      D F
A H      B F      C E      D G
A H      B F      C G      D E
A H      B G      C E      D F
A H      B G      C F      D E

A B C D     A E F G
N=4   K=1   D=0
Y=18 combinations
X=432 permutations
A B C D     A E F G
N=4   K=1   D=1
Y=6 combinations
X=144 permutations
A F      B A      C E      D G
A F      B A      C G      D E
A F      B E      C A      D G
A F      B E      C G      D A
A F      B G      C A      D E
A F      B G      C E      D A
A E      B A      C F      D G
A E      B A      C G      D F
A E      B F      C A      D G
A E      B F      C G      D A
A E      B G      C A      D F
A E      B G      C F      D A
A G      B A      C E      D F
A G      B A      C F      D E
A G      B E      C A      D F
A G      B E      C F      D A
A G      B F      C A      D E
A G      B F      C E      D A
A A      B E      C F      D G
A A      B E      C G      D F
A A      B F      C E      D G
A A      B F      C G      D E
A A      B G      C E      D F
A A      B G      C F      D E

A B C D     A B E F
N=4   K=2   D=0
Y=14 combinations
X=336 permutations
A B C D     A B E F
N=4   K=2   D=1
Y=8 combinations
X=192 permutations
A B C D     A B E F
N=4   K=2   D=2
Y=2 combinations
X=48 permutations
A B      B A      C E      D F
A B      B A      C F      D E
A B      B E      C A      D F
A B      B E      C F      D A
A B      B F      C A      D E
A B      B F      C E      D A
A E      B A      C B      D F
A E      B A      C F      D B
A E      B F      C A      D B
A E      B F      C B      D A
A F      B A      C B      D E
A F      B A      C E      D B
A F      B E      C A      D B
A F      B E      C B      D A
A A      B E      C B      D F
A A      B E      C F      D B
A A      B F      C B      D E
A A      B F      C E      D B
A E      B B      C A      D F
A E      B B      C F      D A
A F      B B      C A      D E
A F      B B      C E      D A
A A      B B      C E      D F
A A      B B      C F      D E

A B C D     A B C E
N=4   K=3   D=0
Y=11 combinations
X=264 permutations
A B C D     A B C E
N=4   K=3   D=1
Y=9 combinations
X=216 permutations
A B C D     A B C E
N=4   K=3   D=2
Y=3 combinations
X=72 permutations
A B C D     A B C E
N=4   K=3   D=3
Y=1 combinations
X=24 permutations
A B      B A      C E      D C
A B      B C      C A      D E
A B      B C      C E      D A
A B      B E      C A      D C
A C      B A      C B      D E
A C      B A      C E      D B
A C      B E      C A      D B
A C      B E      C B      D A
A E      B A      C B      D C
A E      B C      C A      D B
A E      B C      C B      D A
A A      B C      C B      D E
A A      B C      C E      D B
A A      B E      C B      D C
A C      B B      C A      D E
A C      B B      C E      D A
A E      B B      C A      D C
A B      B A      C C      D E
A B      B E      C C      D A
A E      B A      C C      D B
A A      B B      C E      D C
A A      B E      C C      D B
A E      B B      C C      D A
A A      B B      C C      D E

A B C D     A B C D
N=4   K=4   D=0
Y=9 combinations
X=216 permutations
A B C D     A B C D
N=4   K=4   D=1
Y=8 combinations
X=192 permutations
A B C D     A B C D
N=4   K=4   D=2
Y=6 combinations
X=144 permutations
A B C D     A B C D
N=4   K=4   D=3
Y=0 combinations
X=0 permutations
A B C D     A B C D
N=4   K=4   D=4
Y=1 combinations
X=24 permutations
A B      B A      C D      D C
A B      B C      C D      D A
A B      B D      C A      D C
A C      B A      C D      D B
A C      B D      C A      D B
A C      B D      C B      D A
A D      B A      C B      D C
A D      B C      C A      D B
A D      B C      C B      D A
A A      B C      C D      D B
A A      B D      C B      D C
A C      B B      C D      D A
A D      B B      C A      D C
A B      B D      C C      D A
A D      B A      C C      D B
A B      B C      C A      D D
A C      B A      C B      D D
A A      B B      C D      D C
A A      B D      C C      D B
A A      B C      C B      D D
A D      B B      C C      D A
A C      B B      C A      D D
A B      B A      C C      D D
-
A A      B B      C C     D D


 
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